Pouvoir, Devoir et Vouloir sont des verbes modaux. Les verbes modaux peuvent se combiner avec un verbe principal.

Exemple en français avec le verbe pouvoir combiné avec le verbe parler :

je peux parler allemand = ich kann Deutsch sprechen 

Comme en français, le verbe qui se combine avec pouvoir en allemand est à l’infinitif (forme non conjuguée du verbe).
Parler est l’infinitif.
Sprechen est l’infinitif.

Pouvoir, Vouloir et Devoir correspondent aux verbes modaux suivant :

1 - dürfen = pouvoir / avoir le droit
2 - können = pouvoir / être capable de

3 - mögen  = avoir envie de / vouloir / aimer quelque chose
4 - wollen  = vouloir

• mögen sert à exprimer un souhait poliment. 
• wollen sert à exprimer une volonté plus forte que mögen.
• Dans le langage courant, wollen est plus utilisé que mögen. 

5 - müssen = devoir, un devoir pour lequel il n’y a pas d’alternative, une obligation absolue.
6 - sollen = devoir, un devoir pour lequel il y a des alternatives possibles, un ordre, un conseil..

1 - Verbe dürfen

pouvoir / avoir le droit

Présent de dürfen : conjugaison
ich darf
du darfst
er/sie/es darf
wir dürfen
ihr dürft
sie/Sie dürfen

ich darf leider nicht = malheureusement je ne peux pas (je ne suis pas autorisé à le faire)
leider = malheureusement 

darf ich Ihren Pass sehen? = puis-je voir votre passeport ?
sehen = voir

2 - Verbe können

pouvoir / être capable de

Présent de können : conjugaison
ich kann
du kannst
er/sie/es kann
wir können
ihr könnt
sie/Sie können

ich kann kein Deutsch sprechen = je ne peux pas parler allemand
sprechen = parler

kannst du mir helfen? = peux-tu m’aider ?
helfen = aider

können Sie das bitte wiederholen? = pouvez-vous s'il vous plaît répéter ?
wiederholen = répéter

3 - Verbe mögen

avoir envie de / vouloir / aimer quelque chose

Présent de mögen : conjugaison
ich mag
du magst
er/sie/es mag
wir mögen
ihr mögt
sie/Sie mögen

Au présent de l'indicatif, le verbe mögen sert par exemple à indiquer qu'on aime quelque chose :
ich mag Wein = j'aime le vin

En français, le conditionnel est un mode souvent utilisé pour exprimer poliment un souhait.

Exemple de conditionnel : je voudrais une boisson s’il vous plaît.

En allemand cette conjugaison correspond au Konjunktiv II.

En langage courant, le verbe mögen conjugué au Konjunktiv II sert à exprimer poliment un souhait au présent.

Konjunktiv II de mögen : conjugaison
ich möchte
du möchtest
er/sie/es möchte
wir möchten
ihr möchtet
sie/Sie möchten

Conditionnel en français
je voudrais
tu voudrais
il/elle voudrait
nous voudrions
vous voudriez
ils/elles voudraient

ich möchte Deutsch lernen = je voudrais apprendre l'allemand
lernen = apprendre

4 - Verbe wollen

vouloir

Présent de wollen : conjugaison
ich will
du willst
er/sie/es will
wir wollen
ihr wollt
sie/Sie wollen

ich will mit dem Taxi fahren = je veux y aller en taxi
fahren = aller (se déplacer en véhicule).
das Taxi = le taxi

was wollen Sie damit sagen? = que voulez-vous dire ? / que voulez-vous ainsi dire ?
sagen = dire
damit = ainsi

5 - Verbe müssen

devoir, un devoir pour lequel il n’y a pas d’alternative, une obligation absolue.

Présent de müssen : conjugaison
ich muss / muß
du musst / mußt
er/sie/es muss / muß
wir müssen
ihr müsst / müßt
sie/Sie müssen

Notez que deux orthographes sont possibles dans certains cas (en raison d’une réforme de l’orthographe) : ich muss / ich muß

ich muss das Geld wechseln = j'ai besoin de changer de l'argent.
wechseln = changer

was müssen Sie mitbringen? = que devez-vous apporter ?
mitbringen = apporter / amener

man muss nicht feiern = on n’est pas obligé de faire la fête.

6 - Verbe sollen

devoir, un devoir pour lequel il y a des alternatives possibles, un ordre, un conseil.

Présent de sollen : conjugaison
ich soll
du sollst
er/sie/es soll
wir sollen
ihr sollt
sie/Sie sollen

Du sollst deinen Vater anrufen! = Tu dois appeler ton père ! => c'est un ordre
anrufen = téléphoner / appeler

Du sollst nicht feiern.  = Tu ne dois pas faire la fête. (c'est un ordre)

En langage courant, le verbe sollen conjugué au Konjunktiv II sert à exprimer un conseil ou un avis.

Exemple en français : tu devrais faire attention à ça. (c’est le conditionnel en français)

Konjunktiv II de sollen : conjugaison
ich sollte
du solltest
er/sie/es sollte
wir sollten
ihr solltet
sie/Sie sollten

Conditionnel en français
je devrais
tu devrais
il/elle devrait
nous devrions
vous devriez
ils/elles devraient

du solltest wissen = tu devrais savoir
wissen = savoir

Sie sollten dankbar sein = vous devriez être reconnaissant
dankbar = reconnaissant

Sie sollten sich schämen = vous devriez avoir honte
schämen = avoir honte

Sie sollten wissen, was Sie kaufen = vous devriez savoir ce que vous achetez
kaufen = acheter